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Aniversários e Probabilidades
Tarde chuvosa de domingo. Arrumar os livros pelas 10000000 vez, redescobrir brinquedos, poesias fotos, códigos de programação e bolinhos de dados de chocolate! :-) Brincando com meus "achados e perdidos" me deparei com o seguinte problema:

Imagine que voce selecione aleatoriamente 50 pessoas. Qual a probabilidade de todas essas pessoas terem DATAS de aniversário diferentes?

Não dá pra resistir a tentação de dividir, humildemente, esse delicioso desafio com todos voces !

Qual seu palpite? A probabilidade de ocorrer pessoas com a MESMA data de aniversário é:
a) superior a 50%
b) Inferior a 50%




Resposta: alternativa "a"

A probabilidade de encontrarmos , ao menos, duas pessoas com a mesma data de aniversário é superior a 50%.

Pode parecer estranho, pois considerando que o ano possui 365 dias, escolher aleatoriamente, 50 dias distintos (datas de aniversário) não parece uma tarefa muito difícil...Mas é justamente aí que o estudo sobre probabilidades e análise combinatória mostra seus encantos.
Muitas vezes, os resultados probabilísticos fogem de nossa primeira estimativa, ou seja, não são intuitivos. O que demonstra a importância de um estudo sério e objetivo com fenômenos que têm a probabilidade em sua essência.
E...posso te contar uma coisa? São vários os fenômenos que têm a probabilidade como essência, do reino do “muito pequeno” (átomos e moléculas), ao reino do “muito grande” (previsões do tempo, propagação de epidemias, armazenamento de grão em silos, etc), passando, inclusive pelo processo de transmissão de informações e tomadas de decisões!
É um campo verdadeiramente apaixonante :-)
Agora vamos voltar ao nosso desafio:

Imagine que o ano seja um grande sala com de 365 cadeiras.
De quantas formas podemos acomodar “k” pessoas nessa sala?
O cálculo pode ser feito utilizando o princípio fundamental da contagem (pilar da análise combinatória).
O número de possibilidades (m) é a razão entre o número total de permutações de cadeiras e o número de permutações das cadeiras não ocupadas.
Vejamos:

Um número enorme!
Claro, parando pra pensar um pouco não poderia ser diferente. Podemos não conseguir estimar o número, mas alcançamos imaginar que trata-se de um número grande de possibilidades.
No entanto, não estamos interessados em calcular esse número, mas sim a probabilidade de ocorrer “k”’ pessoas com datas distintas.
Utilizando a definição clássica para a probabilidade que é razão entre o número de eventos e número total de possibilidades (N) temos:

aplicando para k =50, temos:

uma conta que típica para um computador!
Sem problemas. Eu te ajudo :-)

Criei um programa que calcula essa longa cadeia de cálculos. Mais que isso, pode ser utilizado para qualquer “k”!
Clique AQUI e faça o download do programa e utilize-o!

Mas...peraí... essa não é a resposta que estamos procurando! O que queremos é a probabilidade de encontrarmos pessoas com a MESMA DATA de aniversário!
No panic!
Basta encontrar a probablidade de ocorrência do conjunto complementar de todos os resultados possíveis, que é justamente a probabilidade de ocorrência de aniversariantes da mesma data, pois:
P(%)datasdiferentes + P(%)mesmadata = 100%
Utilizando o programa,obtemos a resposta ;-)



Ou seja, a probabilidade de encontrarmos pessoas (ao menos um par) com a mesma data de aniversário é de 97% !
(valor aproximado dado o formato da resposta com apenas uma casa decimal)

Explore o programa, simule situações diferentes , compartilhe e bom divertimento!

 

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