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Pipoca e Análise Combinatória: combinação perfeita!




Uma das lembranças agradáveis que, vez ou outra, me visita a mente é a da pipoca no intervalo no campus da UNESP quando eu ainda era um estudante de graduação em Física.
Além de barata, era muito saborosa (com queijo no meio e tudo mais).
A nostalgia me fez lembrar de um desafio que me propôs o ilustre Matemático João Guilherme Giudice e que, agora, tenho a honra de compartilhar com voces.
Vamos lá:

A pipoca do "Seo" João é famosa por seu preço e sabor, assim, tão logo ele abriu seu carrinho ao público já se aglomeraram oito pessoas ansiosas para saborear a famosa pipoquinha.
4 pessoas possuiam APENAS uma moeda de R$1,00 .
4 pessoas possuiam APENAS uma nota de R$2,00 .
Infelizmente, por uma questão de falha de memória, Seo João esquecera em casa a quantia usual que lhe serviria de troco.
Não houve remédio, teve que começar as vendas sem nenhum centavo no bolso mesmo.
Eis a questão:
Sabendo que cada pessoa comprou apenas um saquinho de pipoca e que cada saquinho custa R$1,00, de quantas maneiras é possível organizar a fila com essas oito pessoas de forma que "Seo" João NUNCA fique SEM troco?



Vamos à solução!

Exercícios de Análise Combinatória são apaixonantes justamente por sempre trazerem consigo um raciocínio interessante e nem sempre óbvio.
Uma das possíveis abordagens é construir uma árvore de possibilidades . É uma boa estratégia quando o número de possibilidades não é grande ( o que complicaria o desenho da mesma).
Assim, uma vez desenhada corretamente a árvore, basta contar uma a uma as possibilidades...
Claro, sempre aparecem as dúvidas: Fiz a árvore com todos os seus ramos? Deixei escapar alguma possibilidade? Está mesmo correto?
Vamos à árvore de possibilidades correspondente a esse exercício:



Contando, uma a uma, as soluções (em vermelho) chegamos ao resultado de 14 filas possíveis. Fica claro que um deslize na construção dessa árvore ( o que não é nada difícil de acontecer) compromete toda a contagem. Além de ser um processo bem chatinho :-(
Há outra forma? Há sim! :-)
Uma boa recomendação (não regra!) para a solução de problemas de Análise combinatória é iniciar pela consideração das restrições que cercam o problema. No caso, "Seo"João, não pode ficar sem troco.
Assim, a estratégia que adotarei será contar todas as possíveis filas e subtrair desse total todas as filas que NÃO atendem a condição do problema, ou seja, aquelas que deixam João sem troco.
Vamos ao cálculos:

X = Número TOTAL de possíveis filas = 8!/(4!*4!)= 70 possibilidades

Y = Número de filas que não atendem à restrição do problema. São elas:

# Filas que iniciam com portadores de R$2,00 7!/(4!3!) = 35 possibilidades

# Filas que iniciam com portadores de R$1,00 e terminam com portadores de R$1,00 6!/(2!4!) = 15 possibilidades

#Todas as combinações que iniciam com portadores de R41,00 e terminam com portadores de R$2,00 que não satisfazem a condição e que, obviamente, ainda não foram contadas. São elas:

1 - 2 - 2 - ? - ? - ? - ? - 2 --> 4!/(1!3!) = 4 possibilidades

1 - 1 - 2 - 2 - 2 - 1 - 1 - 2 --> 1 possibilidade

1 - 2 - 1 - 2 - 2 - 1 - 1 - 2 --> 1 possibilidade

Totalizando (35 + 15 + 4 + 1 + 1 ) = 56 possibilidades que NÃO atendem a restrição do problema, ou seja, deixam "Seo" João, em algum momento, desprovido de troco.

Logo, o número de filas (N) que procuramos é:

N = X - Y

N = 70 - 56

N = 14 possibilidades (em acordo com a árvore de possibilidades!)

Note que, por essa abordagem, não precisamos identificar todas as possíveis soluções. Sabemos quantas são, mas não quais são!. No entanto, a proposta do exercício, e da Análise Combinatória, é justamente CONTAR que, maravilhosamente, pode ser feito sem o conhecimento da arquitetura de todas as combinações possíveis!

Um fato curioso é que, se "Seo" João tivesse troco disponível para todos os portadores de R$2,00, haveria 8!=8*7*6*5*4*3*2*1 formas distintas de organizar as pessoas em fila, ou seja, 40.320 possibilidades!

Seguramente um número nada intuitivo! Imagine identificar todas essas possibilidades uma a uma...

Bons estudos :-)!




 

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